3.1 Принципы моделирования

3.2 Линейный и экспоненциальный рост

3.3 Гиперболический рост населения мира

3.4 Закон квадратичного роста

3.5 Информационная природа роста

3.6 Резюме результатов математических расчетов

Hам не дано предугадать, как слово наше отзовется...

Ф. И. Тютчев

В главе изложены принципы построения математических моделей на примере линейной, экспоненциальной и нелинейной (квадратичной) зависимости роста населения от времени. Увеличение всего населения Земли происходит по гиперболическому закону и устремляется в бесконечность за конечное время. Скорость роста, пропорциональная квадрату численности населения Земли, приводит к представлению о коллективном взаимодействии, в основе которого лежит обмен информацией.

Создание модели состоит в последовательном применении принципов системного развития по отношению к фактическим данным, которыми мы располагаем. Цель не в подгонке формул к численным данным, а в поиске математических образов, которые выражают поведение системы и соответствуют поставленной задаче. Поэтому представление о системе и о законах ее развития являются существенной частью исследования.

На каждом шаге следует учитывать, что как сами данные, так и модель только приближенно описывают действительность. Эту степень приближения следует оценивать, и на ее основе определять применимость тех или иных представлений. Возможно, этот процесс последовательного построения моделей более всего развит в теоретической физике. Однако перенесение таких методов построения моделей, которые могли бы претендовать на то, чтобы дорасти до статуса теории, в область исследования динамики населения далеко не очевидно, скорее даже невероятно.

Рис. 3.1

Различные виды зависимости роста населения от времени: A -- линейный рост, B -- экспоненциальный рост, С -- гиперболический рост

Прежде чем рассматривать результаты теории роста человечества, обратимся к двум простым моделям -- линейного и экспоненциального роста. В настоящее время (в 1999 г.), при населении мира в 6 млрд и приросте в 85 млн в год, линейный рост (рис. 3.1, A), экстраполированный в недавнее прошлое, приводит к тому, что 6^.10⁹:85^.10⁶ = 70 лет тому назад (в год рождения автора) все должно было бы начаться с нуля! Таким образом, линейная экстраполяция может дать удовлетворительные результаты на один -- два года, но в наше время демографического перехода продление ее даже на поколение не допустимо ни в прошлое, ни в будущее.

Рассмотрим экспоненциальный рост (рис. 3.1, B). Предполагая, что человечество в прошлом удваивалось за те же 40 лет, что и сегодня, оценим, когда такой процесс мог начаться. Для этого выразим численность населения мира, как степень двойки: 6^.10⁹? 2³². Значит, 32 поколения или 40*32=1280 лет тому назад, в VII в., за 200 лет до крещения Руси, все могло начаться с Адама и Евы! Даже если мы увеличим время удвоения в 10 раз, то этот момент отодвинется к началу неолита, когда население мира уже было порядка 10 млн (см. рис 5.2).

Заметим, что рост по геометрической прогрессии или развитие по логистическому закону [83, 134, 152] описываются линейными уравнениями. Но экспоненциальный рост и экспоненциальная асимптотика логистики не удовлетворяют условию масштабной инвариантности. В этом случае есть внутренний масштаб -- время T_e роста в e=2,72 раз или время удвоения T₂=0,7T_e. Линейный рост, однако, удовлетворяет условию масштабной инвариантности, так как для него нет такого характерного времени.

Логистическую кривую часто используют для описания развития систем, претерпевающих переход от роста к насыщению. Обычно графики, с тем или иным успехом, подгоняют под данные вблизи области перехода и не обращают внимания на то, как эта зависимость описывает поведение системы вдали от этой области (см. рис. П.7). Однако для сложных и существенно нелинейных систем развитие вдали от критических точек перехода, так называемое асимптотическое поведение, характеризует собственную динамику системы и должно в полной мере учитываться при описании роста и переходного процесса.

Рис 3.2 Линейный рост в двойном (A) и экспоненциальный рост в полулогарифмическом масштабе, спрямляющем любую экспоненту (B)

Рассмотрим для примера линейный рост как результат развития системы, в которой появляются не люди, а автомобили. Очевидно, что за увеличенное в 2 раза время будет выпущено в 2 раза больше машин, а два автозавода произведут в 2 раза больше автомобилей. Это есть следствие аддитивности системы производства, ее линейности. Правда, при сотрудничестве заводов общее производство может увеличиться более чем в два раза -- в такой системе заводов производство в результате взаимодействия будет расти нелинейно.

В случае увеличения числа людей предположим, что рост будет происходить быстрее, по экспоненциальному закону, следуя правилу сложных процентов -- поскольку люди, в отличие от автомобилей, сами способны к воспроизводству. Экспоненциальный рост обладает свойством линейности, и такие процессы можно суммировать. Если мы удвоим число людей, то и скорость роста также удвоится, следуя линейности и аддитивности такой системы. Подчеркнем, что экспоненциальный рост связан только с индивидуальной способностью организма человека или семьи к размножению, непосредственно не зависящей от каких-либо взаимодействий в системе, к которой принадлежат люди.

Следующий шаг при рассмотрении закона роста числа людей был сделан Мальтусом [50]. Опираясь на наблюдения за ростом численности населения в Америке, он установил, что в условиях неограниченных территориальных ресурсов население растет экспоненциально, удваиваясь в этих условиях за 18 лет. В то же время он предположил, что производство пищи происходит по линейному закону и будет отставать от роста населения. Основной вывод Мальтуса, а также его последователей, состоял в том, что рост населения будет ограничиваться производством пищи и ресурсами.

Подход Мальтуса, развитый Медоузом [104,111], оказался неверным, в первую очередь, потому, что в нем не учитывался системный характер развития. Системность означает, что и производство пищи, и развитие в целом, и воспроизводство населения взаимообусловлены множеством связей. Так, например, рост числа машин будет способствовать производству пищи, что в свою очередь приведет к росту населения и т.д. Поэтому надо искать законы эволюции всей системы. Последовательное развитие такого целостного системного взгляда на развитие человечества позволило понять, что рост числа людей на всем протяжении сцеплен с развитием. Однако параметры развития статистически усреднены по всему человечеству, в то время как численность аддитивна: и миллионер, и бомж, при разном вкладе в развитие, суммируются с равным весом в население мира.

Для понимания процесса роста важно его графическое представление. При этом существенно не только, в каком масштабе представлены кривые, но каковы те функции времени и населения, которые отложены на осях координат. Линейный рост изображается прямой линией тогда, когда по осям время и численность населения также отложены в линейном масштабе. Наклон же прямой определяет постоянную скорость абсолютного роста.

При экспоненциальном росте, когда за характерное время число людей удваивается, скорость абсолютного роста соответственно растет, однако относительная скорость роста при этом остается постоянной. Таким образом, в случае экспоненциального роста, когда скорость роста пропорциональна первой степени населения, для представления результатов обращаются к осям, на которых время отложено в линейном, а численность населения -- в логарифмическом масштабе. На такой полулогарифмической сетке экспоненциальный рост будет изображаться прямой линией, наклон которой определяется временем T_e экспоненциального роста в e=2,718 раз или временем удвоения

Т₂=T_eln 2=0,7T_e(см. рис. 3.2).

Изменение масштаба соответствует изменению основания логарифмов. В практических целях используют десятичные логарифмы, где целая часть логарифма определяет порядок величины или соответственно степень десяти:

1=10⁰, 10=10¹, 100=10², 1 миллион =10⁶ и 1 миллиард = 10⁹.

В теоретических расчетах обычно обращаются к натуральным логарифмам с числом e=2,718 в качестве основания. Десятичные логарифмы в ln 10=2,303 раз меньше, чем натуральные. Наклон графика на двойной логарифмической сетке отвечает степени, связывающей время и численность населения. Так линейный рост, пропорциональный времени будет изображаться прямой под углом 45 градусов, а в случае разных скоростей роста такая прямая будет смещаться в соответствии с изменением масштаба численности, без изменения наклона.

Для описания развития всего человечества, рассматриваемого как единая демографическая система, следует перейти к следующей степени зависимости скорости роста, пропорциональной уже квадрату численности населения. Это очень существенный шаг, который приводит к гиперболическому закону роста, который быстрее любого экспоненциального роста и уходит в бесконечность при конечном времени расходимости.

Представить такой процесс лучше всего на двойной логарифмической сетке. На ней и время, и численность населения откладываются в логарифмическом масштабе. В этом случае гиперболический рост, соответствующий обратной пропорциональности численности населения и времени, изобразится прямой, но с отрицательным наклоном. Именно таким графиком будет описываться зависимость численности населения мира от времени.

Приведенные расчеты показывают, что ни линейный, ни экспоненциальный рост не могут описать развитие человечества за сколько нибудь значительное время. Демографические данные за много поколений свидетельствуют, что рост человечества хорошо укладывается только на гиперболическую кривую (см. рис. 1.1). В этом случае скорость роста пропорциональна квадрату полного числа людей. Переход к следующей степени зависимости скорости роста от числа людей, по сравнению с экспонентой, может показаться формальным шагом. Однако более глубокое рассмотрение показывает, что именно такая зависимость не только отвечает данным демографии за продолжительное время, но и обладает всеми свойствами, которым должен удовлетворять системный подход, поскольку в ней проявляется взаимодействие, охватывающее всех людей на Земле.

Рис 3.3 Гиперболический рост в линейном и логарифмическом масштабах:

A: N=100/(T₁-T), B: N=10⁴(T₁-T). T₁ -- особая точка обострения роста, момент, в котором население стремится к бесконечности. На шкале логарифмов T₁ как 0 не отображается

Зависимость скорости роста от квадрата численности населения существенно нелинейная и не аддитивная, и потому применима только ко всему населению Земли, а не к отдельной стране или региону. Математически это выражается в том, что квадрат суммы всегда больше суммы квадратов слагаемых.

Гиперболический рост, описываемый степенной функцией, обладает еще одним существенным свойством -- такое развитие динамически самоподобно, причем его логарифмическая скорость постоянна, и на двойной логарифмической сетке такой рост изображается прямой линией (рис. 3.3). Так если население выросло в 10 раз, то и время, отсчитываемое от определенного момента, соответственно изменилось в 10 раз. Легко видеть, что линейный рост обладает этим же свойством, а экспоненциальный -- нет. В последнем случае при изменении численности в 2 раза время изменяется на время удвоения, а не в 2 раза.

Рост по гиперболе обращается в бесконечность по мере приближения к моменту расходимости -- особой точке для функции роста. Именно это соответствует наступлению демографического взрыва и отвечает, так называемому, режиму с обострением. В реальных условиях в этой области вступают в силу факторы, ограничивающие рост.

Анализ данных демографии приводит к простой формуле:

N = C/(T₁-T) = 186 / (2025-T) млрд, (3.1;П.4)

где N -- число людей на Земле в момент времени T; T₁ -- критическая дата от Рождества Христова; C -- постоянная с размерностью [человекогоды].

Здесь и далее в скобках с буквой П указаны номера формул в Приложении, посвященном математической теории.

Однако принятие квадратичного закона, приводящего к гиперболической кривой роста, обращающейся в бесконечность за конечное время, смущало многих исследователей. Из формулы (3.1) следует, что критическое время расходимости очень близко, и если тенденция роста, имевшая место до 1965 г., сохранится, такое время наступит в T₁=2025 г. Это обстоятельство привело к тому, что некоторые (одни -- с юмором, а другие -- с ужасом!) увидели в описании демографического взрыва предвестника конца света [52].

Но указанный гиперболический рост приводит к абсурдному результату и в далеком прошлом, поскольку 20 млрд лет тому назад уже должно было бы быть 10 человек, несомненно космологов, которые могли бы наблюдать сотворение Вселенной. Очевидно, гиперболический закон роста имеет ограниченную область применения, и это то, чего от подобных степенных законов следует ожидать. Исходя из этого и следует установить границы роста числа людей по гиперболе как в прошлом, так и в будущем.

Рис. 3.4 Прохождение странами демографического перехода

1 -- Швеция, 2 -- Германия, 3 - СССР (Россия), 4 -- США, 5 -- Маврикий, 6 -- Шри-Ланка, 7 -- Коста-Рика, 8 -- Модель. Данные графиков сглажены. Ср. с рис. 10.1.

Следует предположить, что в далеком прошлом скорость роста не могла быть меньше одного человека, вернее гоминоида, за поколение или характерное время ?. Этого простого предположения оказалось достаточно для того, чтобы дать оценку начала процесса образования человечества 4-5 млн лет тому назад. Развитие происходит до тех пор, пока скорость роста не становится столь большой, что система больше не может развиваться в таком самоускоряющемся режиме. Фактор, который должен быть снова учтен, есть время ?, характеризующее жизнь человека -- его репродуктивную способность и продолжительность жизни. Этот фактор проявляется при прохождении через демографический переход -- процесс, характерный для всех популяций, который хорошо виден на примерах как развитых стран, так и развивающихся, в частности, представляющих регионы Африки, Азии и Южной Америки [73] (рис 3.4).

Существенно отметить, что скорость роста проходит именно через максимум, а не устанавливается на своем наибольшем значении. По мере того как скорость роста уменьшается, население Земли выходит на плато и стабилизируется. Hаселение мира в целом четко следует такому развитию в результате суммирования переходов в отдельных странах и регионах. При этом ограничение обязано именно пределу скорости роста, а не отсутствию ресурсов. Это будет справедливо до тех пор, пока наше воздействие на окружающую среду не приведет к глобальным по своим масштабам последствиям, которые уже в следующем приближении могут повлиять на развитие человечества.

Введенное характерное время определяется внутренней предельной способностью системы человечества и человека к росту. Эта постоянная, равная ? =45 годам, определяется из анализа глобального демографического развития и дает масштаб времени, к которому следует относить процессы, происходящие в системе человечества. Характерное время "время человека" проявляется как в начале развития, ограничивая минимальную скорость роста, так и при демографическом переходе, указывая на предельную скорость роста. Значение этого времени весьма удовлетворительно отражает некоторую среднюю временную характеристику для жизни человека, хотя это число получено из обработки демографических данных как характеристика глобального демографического перехода, а не привнесено из опыта жизни, которому оно вполне отвечает, практически совпадая с современным значением среднего возраста человека.

Поскольку основное развитие обязано квадратичному закону роста, имеет смысл подробнее остановиться на его природе и происхождении. Скорость квадратичного роста, приводящего к росту по гиперболе, может быть представлена в виде

?N/?t = N²/K²,    (3.2; П.13)

где введено время t=T/?, которое измеряется в условных поколениях ? =45 годам, а K= (C/?)^0.5 = 64000 -- безразмерная константа роста.

Это число занимает центральное место в теории роста, определяя все основные соотношения, возникающие при описании системной динамики человечества, являясь, в терминах синергетики, масштабным параметром. Следует отметить, что числами порядка K?10⁵ определяется эффективный размер группы, в которой проявляются коллективные признаки когерентного сообщества людей. Таким может быть оптимальный масштаб города или района большого города, обладающего, как правило, системной самодостаточностью. В популяционной генетике величины такого порядка определяют численность устойчиво существующего вида или популяции, занимающей определенный ареал и экологическую нишу. Иными словами, это число является масштабом сообщества, имеющего генетическую или социальную природу.

Уравнение (3.2) в каждый момент времени приравнивает скорость роста к развитию, которое является функцией состояния системы и выражается через квадрат численности всего населения. Смысл этой зависимости в том, что она определяется коллективным состоянием системы и выражается числом парных связей в системе населения мира, всей совокупностью процессов, участвующих в развитии. Так рост эффективно определяется взаимодействием, зависящим от объема знаний и информационных связей, которые играют основную роль в этом процессе.

Определенная таким образом скорость роста не зависит явно от внешних условий и определена только собственными системными характеристиками -- параметрами K и ?. Само системное развитие динамически самоподобно и его внутренние закономерности со временем не меняются, сохраняя автомодельность роста. Только тогда, когда прирост населения на протяжении поколения или характерного времени ? становится сравнимым с самой численностью населения мира, возникает критический переход к другому закону роста и как следствие -- переход к стабилизированной численности населения Земли. В этом следует видеть внутреннюю, системную природу демографического перехода. Существенно подчеркнуть, что этот фундаметальный закон роста описывает рост человечества до перехода за все время развития при неизменных его характеристиках, которые в первом приближении не эволюционировали.

Такое кооперативное взаимодействие результативно описывает всевозможные процессы экономической, технологической, социальной, культурной и биологической природы, где скорость размножения является лишь одним из факторов роста. Закон роста следует рассматривать как феноменологическое представление способности человечества к развитию, как свойство динамической системы. Для физика такое описание системы естественно и лежит в основе многих теорий. Однако подобный подход к описанию человечества требует не только своего обоснования, но и известных усилий со стороны тех, кто мало знаком с такими общими феноменологическими методами. Некоторым они могут показаться формальными и механистичными. Это связано в первую очередь с необходимостью отказа от редукционизма, от того, чтобы все представлять в виде элементарных и конкретных причинно-следственных связей, без обращения к поведению системы в целом.

При этом важно понять как происхождение, так и ограничения системного метода с тем, чтобы верно оценить его возможности. Более того, следует отметить, что определенные в обществоведении частные, технолого-экономические или социально-культурные демографические механизмы также носят феноменологический характер. Они в большинстве случаев выделены из-за удобства изучения, когда связи со всеми другими общественно значимыми факторами ограничиваются с целью определения главных черт рассматриваемых явлений на соответствующем уровне обобщения. Такой подход принципиально ограничен при описании поведения систем, где именно взаимозависимость, нелинейность сильносвязанных событий и механизмов заставляет искать другие -- интегративные -- принципы для описания поведения в течение длительного времени и на больших территориях.

Отмеченный кооперативный закон роста в значительной мере является прямым выражением информационной природы развития. Распространение и передача из поколения в поколение информации -- знаний и технологий, обычаев и культуры, религии и, наконец, представлений науки -- есть то, что качественно отличает человека и человечество в своем развитии от животного мира [36, 41, 44].

В течение долгого детства, когда при овладении речью, обучении, образовании и социальном воспитании каждый ребенок учится быть человеком, определяется единственный, специфический для человечества способ развития и последующей самоорганизации. При этом информация передается во времени вертикально от поколения к поколению, путем социального наследования, и горизонтально -- в пространстве информационного взаимодействия. Физическим образом информационного обмена может быть поле, информационное поле знаний, охватывающее все человечество, которое служит мощным объединяющим фактором и связано с понятием сознания. Так коллективный опыт служит основой роста, обязанного информационному взаимодействию всех людей во всей Ойкумене -- территории проживания человечества -- и математически выраженного в виде зависимости от квадрата численности всего населения Земли.

Такая зависимость возникает потому, что при обмене и распространении информации происходит умножение числа ее носителей в результате разветвленной цепной реакции. Обмен и распространение информации отличаются от эквивалентного обмена ценностями, когда, например, при обмене невесты на стадо баранов общее число объектов обмена сохраняется. Разница удачно выражена в анекдоте о том, как хорошо обмениваться идеями: при этом каждый приобретает по идее, ничего не теряя. Очевидно, что распространение информации необратимо -- <слово не воробей, вылетит не поймаешь!> В то время как обмен товарами принципиально обратим.

Сейчас принято выделять информационную составляющую современной цивилизации. Но следует подчеркнуть, что человечество всегда было информационным обществом. Иначе трудно понять природу квадратичного роста, так отличающего человека от всех остальных животных. Именно благодаря информации уже очень давно, с самого начала появления человека, шел непрерывный процесс сапиентации -- развития способности к созданию, накоплению, передаче и использованию информации. Так что информационное общество появилось не после компьютеров и Гутенберга, иероглифов и языка, а на самой заре человечества, миллион лет тому назад. А Интернет и мультимедиа -- только последний эпизод в этой долгой истории, когда тысячи лет караваны и купцы, базарная площадь и деревенский колодец, мастера и монахи, барды и старцы, сидящие у семейного очага, служили той же цели -- передаче культуры, знаний и размножению информации.

Рис. 3.5 Рост населения мира на всем протяжении развития человечества: ? = ln t', указывающее на логарифмическую цикличность роста (см. П. 41), - - - - показана зависимость (3.1), ^о -- настоящее время (см. рис. 4.2 и 4.5)

Поразительным свидетельством единства человеческого рода является наскальная живопись первобытного человека. Для автора незабываемым впечатлением было посещение знаменитой пещеры Альт Амиpа на севере Испании. Здесь нельзя не привлечь внимание к недавно открытой пещере Шове на юге Франции, где наиболее древние рисунки появились не менее 30 000 лет тому назад. Они и сегодня поражают нас выразительностью и точностью изображения давно исчезнувших зверей [45]. Обpазы и знаки, созданные для передачи современникам, дошли и до нас, подтверждая информационную составляющую природы человеческого бытия и культуры. Так прослеживается связь с эпохой палеолита, появлением шаманов и первых политеистических дорелигиозных представлений о мире зверей и охотников, сохранившихся и до нашего времени [46].

Рост человечества, описываемый математической моделью на всем пути его развития, показан в двойном логарифмическом масштабе на рис. 3.5. По оси ординат отложена численность N, начиная с одного человека. Подчеpкнем, что число людей -- величина существенно положительная. По оси абсцисс отложено время T в годах, отсчитываемое от T₁=2005 г. Здесь возникает характерная трудность: поскольку время может быть и отрицательным, то ноль на этом графике исключен, и время, точнее его логарифм, для отрицательных значений откладывается влево, а для положительных значений -- вправо. Удаление нуля и его окрестности соответствует тому, как в модели исключается особенность роста при демографическом взрыве и pегуляpизуется режим обострения при прохождении области перехода.

Таким образом все развитие человечества можно разбить на три эпохи: A -- эпоха раннего антропогенеза длительностью 3 млн лет, эпоха it B -- взрывного развития, продолжающегося 1,6 млн лет, и начавшаяся ныне эпоха C -- стабилизации населения мира. На графике приведены оценки населения мира, данные разными авторами, обобщенные Бирабеном [59] и Коэном [121] (см. табл. 4.1), и оценка ?10⁵, данная Коппенсом.

Логаpифмическое отображение наглядно показывает сжатие времени по мере приближения к T₁, где хорошо видна периодичность демографических циклов, которая рассмотрена ниже, в пятой главе. Пеpиоды, отмеченные целочисленными значениями ?, соответствуют основанию натуральных логарифмов e, но весь график построен на сетке десятичных логарифмов.

Hа графике выражению (31) и гиперболическому росту в течение эпохи B соответствует прямая, которая в очень далеком прошлом -- 20 млрд лет тому назад -- отсекает точку, отвечающую 10 космологам, а на оси ординат -- значение постоянной C. Следует обратить внимание на то, что начальная эпоха A и эпоха C демографического перехода имеют одинаковый вид, следующий из динамической сопряженности времени и численности. Однако эпоха A длилась 3 млн лет, а демографический переход в начале эпохи C -- меньше 100 лет.

На графике все степенные законы -- законы автомодельного развития -- описываются прямыми линиями, что указывает на постоянство логарифмической относительной скорости роста, поскольку все точки на прямой не выделены одна относительно другой. Этим демонстрируется инвариантность автомодельного роста как постоянство обобщенной скорости при самоподобном процессе развития. Двойное логарифмическое представление роста численности человечества не только удобно, но и соответствует динамическим свойствам глобальной демографической системы, развитию и периодизации всей истории человечества. Соответствие наглядных математических образов отвечает физическим системным характеристикам населения Земли и указывает на полноту и непротиворечивость такого описания.

Все сделанные предположения и полученные результаты позволяют прийти к утверждению о единстве развития человечества как целого и рассматривать его как некую мировую структуру, глобальный суперорганизм, охваченный общим информационным взаимодействием. Это утверждение возникает как существенный вывод из всей рассматриваемой концепции.

В заключение заметим, что, обращаясь к данным демографии, антропологии и истории, автор придерживался общепринятых представлений и моноцентрической гипотезы о происхождении человека.

Результаты расчетов выражаются через основную константу роста K=64 000 и эффективную длительность жизни поколения ? =45 года (П.8), принятую в модели за естественную единицу времени в расчетах. Константа роста K служит как масштабным множителем для коллектива людей, так и постоянной, определяющей все основные соотношения в модели. Подробности всех расчетов приведены в Приложении.

Все расчеты сделаны с той точностью, которая определяется исходными данными и приближениями самой теории. Во всяком случае, автор избегает того превышения точности, с которым представлены большинство данных демографии.

Самая ранняя и наиболее продолжительная эпоха линейного роста A началась

T₀ = T₁ - 0.5?K? = 4,5 млн лет тому назад    (3.3; П.20)

и ее длительность можно оценить

?T_A=K? =2,9 млн лет. (3.4)

К концу эпохи A население достигнет

N_A,B=K tg1=100 000 чел. (3.5)

Следующая, эпоха гиперболического роста B, продолжается (0,5?-1)K? =4,5-2,9=1,6 млн лет (3.6)

и заканчивается за ? =45 лет до критической даты T₁=2005 г. в 1960 г. при населении мира, равным 0,25?K²=3,22 млрд.

В течение эпохи B скорость роста пропорциональна квадрату общего числа людей N, населяющих Землю

(3.7; П.15)

что приводит к гиперболическому росту

N=K²?/(T₁-T) = 186^.10⁹/(2025-Т). (3.8; П.4)

Демографический переход занимает 2? =90 лет и заканчивается соответственно в T₁+? =2050 г. С демографического перехода начинается эпоха C -- переход к стабилизированному пределу, зависящему только от значения K:

N_?=?K² = 13 млрд. (3.9; П.18)

В критическом 2005 г. население мира достигнет половины предельной величины N₁=0,5?K²=6,5 млрд, а скорость роста населения достигнет максимума

(3.10)

что соответствует относительной скорости роста

. (3.11; П.11

За время демографического перехода население увеличивается в M=3 раза, где M -- демографический мультипликатор Шене (П.43). В течение всего времени роста от T₀=4,5 млн лет тому назад до T₁=2005 г. на Земле прожило

P_0.1 = 2K² lnK = 90 млрд чел. (3.12; П.21)

На протяжении каменного века и исторической эпохи -- эпохи B -- отмечается ln K = 11 демографических циклов. В течение каждого цикла прожило соответственно

?P = 2K² = 8,2 млрд чел., (3.13; П.40)

а длительность цикла сокращалась от K?/e = 1 млн лет в начале до ? = 45 лет в конце эпохи B. Таким образом, масштаб исторического времени растягивается пропорционально древности, и мгновенное экспоненциальное время роста T_e (эффективное время изменений) в период квадратичного роста равно

T_e = T₁ - T ,  (3.14; П.38)

время удвоения T₂ = 0,7T_e, а относительный рост составит

    (3.15)

Неолит приходится на середину логарифмической шкалы времени

   (3.16; П.20)

и к этому моменту прожила половина всех людей, когда-либо живших.

Перечисленные формулы показывают, как много цифр, характеризующих развитие человечества, можно извлечь с помощью всего лишь одной константы K и постоянной времени ? , входящих в модель.